numération

NUM1 Le système de numération des nombres entiers

Chiffre et nombre

Dans notre système de numération , il existe dix chiffres :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Un nombre s’écrit avec un ou plusieurs chiffres.

Exemples :

5 est un nombre qui s’écrit avec un seul chiffre.

256 est un nombre qui s’écrit avec trois chiffres.

Tableau de numération

Dans notre système de numération, chaque chiffre a une valeur différente selon sa position

dans le nombre. Pour connaître la valeur des chiffres dans  un nombre, on utilise un tableau de numération.

Dans le nombre 95 248 :

- 8 est le chiffre des unités

- 95 248 est le nombre d’unités

- 5 est le chiffre des unités de mille

- 95 est le nombre d’unités de mille (95 X 1 000)

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NUM2 L’écriture les nombres entiers

L’écriture des nombres entiers en chiffres

Quand on écrit un nombre entier en chiffres on doit laisser un espace entre chaque classe.

Exemple :

456 987 123 405

L’écriture des nombres entiers en lettres

• il faut mettre un trait d’union entre tous les mots

Exemples :  trente-six ; soixante-deux ; trois-cent-soixante-douze

• il faut écrire et entre les dizaines et un

Exemples :  vingt et un ; quarante et un

• mille est invariable

Exemple :  trois mille onze

• vingt et cent prennent un s quand ils sont multipliés par un nombre sauf s’ils sont suivis d’un autre nombre

 Exemples :  quatre-vingts ; trois cent quatre-vingt-deux ; trois cents

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NUM3 La décomposition des nombres entiers

Il existe différentes manières de décomposer un nombre entier :

• la décomposition additive

1 456 023 =  1 000 000 + 400 000 + 50 000 + 6 000 + 20 + 3

• la décomposition canonique

1 456 023 = (1 x 1 000 000)  + (4 x 100 000) + (5 x 10 000) + (6 x 1 000) + (2 x 10) + 3

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NUM4 La comparaison et rangement des nombres entiers

Les symboles de comparaison

Pour comparer des nombres, on utilise trois signes :

• le signe > qui signifie « est supérieur à »

Exemple :  2 345 > 1 234

• le signe < qui signifie « est inférieur à »

Exemple :  987 < 2 678

• le signe = qui signifie « est égal »

Exemple :  678 457 = 678 457

Technique pour comparer deux nombres

Pour comparer deux nombres, on compare d’abord le nombre de chiffres.

• si les deux nombres ont un nombre de chiffre différent.

Le nombre le plus grand est celui qui a le plus de chiffres.

Exemple :

456 890 (6 chiffres)  > 56 890 (5 chiffres)

• si les deux nombres ont autant de chiffre.

Il faut comparer les chiffres les uns après les autres en commençant par la gauche.

Exemples :  345 234  < 346 234 car 5 <  6

890 123  >  890 113 car 2 >  1

On peut ranger des nombres :

• par ordre croissant, c’est-à-dire du plus petit au plus grand.                   Exemple :  456 < 789 < 907 < 1 089

• par ordre décroissant, c’est-à-dire du plus grand au plus petit.   Exemple : 5 678 > 3 457 > 2 345 > 367

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NUM 5 La valeur approchée à un nombre entier

Pour arrondir un nombre entier, il suffit de choisir le nombre entier le plus proche.

On peut arrondir un nombre entier :

• à l’unité, la dizaine, la centaine, au millier supérieur

  Exemples :   89 -> 90 ;   156-> 200 ; 4 678 -> 5 000

• à l’unité, la dizaine, la centaine, au millier inférieur 

Exemples : 64 -> 60 ;   405->400 ; 1 289 ->  1 000

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NUM 6 L’encadrement des nombres entiers

Encadrer un nombre entier c’est rechercher :

• le nombre entier qui le précède, c’est-à-dire celui qui est situé avant lui,

• le nombre entier qui le suit , c’est-à-dire celui qui est situé après.

On peut encadrer un nombre :

• entre deux unités

 Exemple : 2 456  <  2 457  <  2 458

• entre deux dizaines (nombre terminé par un zéro)

 Exemple : 2 450  <  2 457  <  2 460

• entre deux centaines (nombre terminé par deux zéro)

 Exemple : 2 400  <  2 457  <  2 500

• entre deux unités de mille (nombre terminé par trois zéro)

 Exemple : 2 000  <  2 457  <  3 000

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NUM 7Les multiples d’un nombre

On appelle multiple un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un produit de deux nombres

entiers.

 Exemples :

42 est un multiple de 6 puisque 42 = 6 x 7 ; 42 est un multiple de 7 puisque 42 = 7 x 6

• les multiples de 2 sont tous des nombre pairs.

Exemples :  100 ; 12 ; 24 ; 36 ; 78

• les multiples de 5 se terminent toujours par 0 ou 5.

Exemples :  55 ; 110

• les multiples de 10 se terminent toujours par 0.

Exemples :  90 ; 300 ; 1 200

• les multiples de 3 sont des nombres dont la somme des chiffres est un multiple de 3.

Exemple : 375 car 3 + 7 + 5 = 15  et  15 est un multiple de 3 (3 x 5)

• les multiples de 9 sont des nombres dont la somme des chiffres est un multiple de 9.

Exemple : 1 305 car 1 + 3 + 0 + 5 = 9 et 9 est un multiple de 9 (9 x 1).

NUM 8 Les fractions

Les fractions

Quand on partage une unité en parts égales on obtient des fractions de l’unité.

Exemple : L’unité a été partagé en sept parts égales.

La partie coloriée représente     de l’unité

3 représente le nombres de parts coloriées : c’est le numérateur.

7 représente le nombre de parts qui partage l’unité : c’est le dénominateur.

  le numérateur                        le dénominateur

Lecture les fractions

Pour lire une fraction on lit d’abord le numérateur puis le dénominateur que l’on fait suivre du suffixe -ième.

Exemples :       se lit trois septièmes

Cas particuliers :                se lit un demi                 se lit deux tiers              se lit trois quarts

NUM 9 L’écriture de fractions représentées

Pour écrire la fraction correspondant au nombre de parts coloriées il faut :

• compter le nombre de partie égales que composent l’unité.

Ce nombre correspond au dénominateur, c’est-à-dire au nombre situé sous la barre de fraction,

• compter le nombre de parts coloriées

Ce nombre correspond au numérateur, c’est-à-dire au nombre situé sur la barre de fraction.

Exemple :

NUM 10 La représentation de fractions

Pour représenter une fraction il faut :

• partager l’unité en part égales

Le nombre de parts est donné par le dénominateur, c’est-à-dire au nombre situé sous la barre de fraction,

• colorier les parties de l’unité

Le nombre de parts à colorier est donné par le numérateur, c’est-à-dire au nombre situé sur la barre de fraction.

 Exemples : Je colorie

u

Je partage u en trois parties égales.

Je colorie 1 partie de u.

NUM 11 Les fractions équivalentes

La partie coloriée correspond à de u.

La partie coloriée correspond à de u.

La partie coloriée correspond à de u.

La partie coloriée correspond à de u.

 Les fractions    représentent la même quantité.

Ce sont des fractions équivalentes.

NUM 12 La comparaison d’une fraction à 1

On peut comparer des fractions par rapport à l’unité :

• si le numérateur est inférieur au dénominateur, la fraction est inférieure à 1.

Exemple :   < 1

• si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est égale à 1.

Exemple : = 1

• si le numérateur est supérieur au dénominateur, la fraction est supérieure à 1.

Exemple : > 1

NUM 13La comparaison de deux fractions

Quand deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur.

Exemple :    >       car 3 > 4

Quand deux fractions ont le même numérateur, la plus grande fraction est celle qui a le plus  petit dénominateur.

Exemple :    >     car 12 > 4

NUM 14 La décomposition  et la simplification de fractions

Une fraction peut se décomposer puis se simplifier de manière à pouvoir l’écrire sous la forme d’une somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1.

Exemple :  =  +  =     1+1+ = 2 +

partie entière + fraction inférieure à 1

NUM 15 L’encadrement de fractions

Pour encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs :

• on peut décomposer la fraction de façon à extraire la partie entière.

Exemple :  =  +  =  1 + 1 +  = 2 +   DONC         2< < 3

• on peut diviser le numérateur par le dénominateur.

Exemple : 

13 divisé par 5  n’est pas une division exacte

->  Par contre, on sait que (5 x 2) < 13  <  (5 x 3)

donc    —

     -> 2 < <3

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CALCULER LA FRACTION D'UN NOMBRE

Calcule 3/5 de 45

45 : 5 = 9

9 x 3 = 27

ou 

45 x 3 =135

135  : 5 = 27

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Arrondir un nombre décimal

C’est donner le nombre entier ou décimal qui est le plus proche de ce nombre. Règle de l’arrondi à l’unité

Je regarde le chiffre des dixièmes.

- si le chiffre des dixièmes (le premier chiffre à droite de la virgule) du nombre décimal est inférieur à 5, on arrondit à l’entier immédiatement inférieur.

- si le chiffre des dixièmes du nombre décimal est supérieur ou égal à 5, on arrondit à l’entier immédiatement supérieur.

De la même manière Ø pour arrondir au dixième je regarde le chiffre des centièmes, si le chiffre des centièmes est inférieur à 5, on arrondit au dixième immédiatement inférieur...

Ø Pour arrondir au centième je regarde le chiffre des millièmes

Encadrer un nombre décimal

C’est donner un nombre qui lui est inférieur, et un nombre qui lui est supérieur.

On peut encadrer un nombre décimal par deux nombres entiers consécutifs.

Exemple : 27 < 27,136 < 28 est un encadrement de 27,136 par deux entiers consécutifs.

Pour encadrer un nombre décimal entre 2 nombres décimaux au dixième près (avec un chiffre après la virgule), je regarde le chiffre des dixièmes.                            Ex : 15,7<15,8<15,9 7,1><15,9       7,1<7,12<7,2 3,5><7,2     3,5<3,581<3,6 Pour encadrer un nombre décimal entre 2 nombres décimaux au centième près (avec deux chiffres après la virgule), je regarde le chiffre des centièmes Ex : 15,83><3,6

Pour encadrer un nombre décimal entre 2 nombres décimaux au centième près (avec deux chiffres après la virgule), je regarde le chiffre des centièmes          Ex : 15,83<15,84<15,85 7,12><15,85               7,12<7,125<7,13